Chapitre 3 — Fonctions de référence & variations

Contexte Panorama des fonctions usuelles : affine, carré, racine, inverse (domaine restreint), valeur absolue, puissance entière $x^n$ ($n\in\mathbb{N}$), avec représentation graphique et sens de variation.

1) Définitions & domaines

• Affines : $f(x)=mx+p$, $x\in\mathbb{R}$.
• Carré : $x\mapsto x^2$, $x\in\mathbb{R}$.
• Racine : $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\ge 0$.
• Inverse : $x\mapsto \dfrac{1}{x}$, $x\ne 0$.
• Valeur absolue : $x\mapsto |x|$, $x\in\mathbb{R}$.

2) Variations & parités

• $x^2$ : décroît sur $(-\infty,0]$, croît sur $[0,\infty)$ ; paire : $x^2=(-x)^2$.
• $\sqrt{x}$ : croissante sur $[0,\infty)$.
• $\dfrac{1}{x}$ : décroissante sur $(-\infty,0)$ et sur $(0,\infty)$ ; impaire : $\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$.
• $|x|$ : décroît sur $(-\infty,0]$, croît sur $[0,\infty)$ ; paire.

3) Graphe de référence (SVG)

4) Inégalités usuelles

Pour $x\ge 0$, $\sqrt{x}\le 1+\dfrac{x}{2}$ ; pour tout $x$, $|x|\ge 0$.

Exemples

Comparer $|x|$ et $x$ selon le signe de $x$. Résoudre $|x-2|\le 3$ : $-3\le x-2\le 3 \Rightarrow -1\le x\le 5$.