Chapitre 2 — Polynômes du second degré

Objectifs Maîtriser définitions, formes (développée, factorisée, canonique), discriminant et racines, variations, signe, tracé de la parabole, avec une démarche systématique et des exemples guidés.

1) Définition & vocabulaire

Un polynôme (ou fonction) du second degré s’écrit $$ f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0. $$ Sommet de la parabole : $S(\alpha,\beta)$ ; axe de symétrie : $x=\alpha$ ; ouverture (sens) selon le signe de $a$ : si $a>0$ la parabole est ouverte vers le haut, si $a<0$ vers le bas.

2) Forme développée, factorisée, canonique

• Développée : $ax^2+bx+c$ (coefficients visibles).
• Factorisée (quand elle existe) : $a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1,x_2$ sont les racines réelles de $f$ (zéros).
• Canonique : $$ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta,\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\ \beta=f(\alpha). $$

Démonstration de la forme canonique (complétion du carré)

On part de $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ : $$ f(x)=a\left[x^2+\frac{b}{a}x\right]+c =a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c =a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. $$ Posons $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=c-\frac{b^2}{4a}$, on obtient $$ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta. $$

3) Discriminant et racines

Le discriminant (ou $\Delta$) est $\Delta=b^2-4ac$.

4) Sommet, variations et signe

• Sommet $S(\alpha,\beta)$ : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, $\beta=f(\alpha)$. Minimum si $a>0$, maximum si $a<0$.
• Variations : si $a>0$, $f$ décroît sur $(-\infty,\alpha]$ puis croît sur $[\alpha,+\infty)$ (inverse si $a<0$).
• Signe : utilise la factorisation quand elle existe (tableau de signes) ou la position du sommet par rapport à l’axe $x$.

5) Tracé de la parabole — méthode

1. Repérer $a$ (sens d’ouverture) et calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, $\beta=f(\alpha)$.
2. Calculer $\Delta$ et les racines si $\Delta\ge0$.
3. Placer éventuellement l’ordonnée à l’origine $f(0)=c$.
4. Tracer l’axe symétrique $x=\alpha$ et le sommet $S(\alpha,\beta)$.
5. Compléter avec quelques points de part et d’autre (symétrie).

6) Exemples guidés

Exemple A (Δ > 0 : deux racines)

$f(x)=x^2-4x+3$. $\Delta=16-12=4$. Racines $x_1=1$, $x_2=3$. Forme factorisée $f(x)=(x-1)(x-3)$. $\alpha=2$, $\beta=f(2)=-1$. Parabole ouverte vers le haut (a=1).

Exemple B (Δ = 0 : racine double)

$g(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2$. Sommet $S(3,0)$ sur l’axe des abscisses ; $g(x)\ge0$ et s’annule en $x=3$.

Exemple C (Δ < 0 : pas de racine réelle)

$h(x)=2x^2+2x+5$. $\Delta=4-40=-36<0$. Pas de croisement avec l’axe ; comme $a>0$, $h(x)>0$ pour tout $x$. Sommet : $\alpha=-\tfrac{1}{2}$, $\beta=h(-\tfrac{1}{2})=2(\tfrac{1}{4})+2(-\tfrac{1}{2})+5=\tfrac{1}{2}-1+5=4.5$.

7) Forme factorisée et nature des racines

Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ :

• Racines simples ($x_1\ne x_2$) si $\Delta>0$.
• Racine double ($x_1=x_2=x_0$) si $\Delta=0$ : $f(x)=a(x-x_0)^2$.

8) Tableaux (variations / signe)

Sans dérivée : la convexité est donnée par $a$. Avec $a>0$, la fonction décroît puis croît ; avec $a<0$, croît puis décroît. Pour le signe, partir des racines et conserver le facteur $a$ devant.

9) Applications concrètes

• Optimisation (aire, coût, trajectoire) : maximum/minimum au sommet.
• Physique : tir parabolique (hauteur maximale au sommet), énergie potentielle quadratique, etc.