Maths Première Spécialité
Cours, exercices et corrigés

Exercices — Chapitre 2 (polynômes du second degré)

A — Calculs algébriques (mise en jambes)

  1. Développer et réduire : $(x-3)^2$, $(2x+1)^2$, $(x+4)(x-5)$.
  2. Factoriser : $x^2-9$, $x^2-5x+6$, $4x^2-25$.
  3. Mettre sous forme canonique : $x^2-6x+5$, $2x^2+4x-1$, $-3x^2+12x-11$.

B — Discriminant & racines

  1. Pour chaque polynôme, calculer $\Delta$ puis les racines et indiquer le nombre de solutions réelles :
    • $f(x)=x^2-4x+3$
    • $g(x)=x^2-6x+9$
    • $h(x)=2x^2+2x+5$
    • $p(x)=-x^2+4x-3$
  2. Montrer que si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ et déterminer $x_0$.

C — Formes et équivalences

  1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ : démontrer la forme canonique par complétion du carré.
  2. Relier forme canonique et sommet $S(\alpha,\beta)$ ; donner $\alpha,\beta$ pour $f(x)=3x^2-12x+7$.
  3. Écrire $q(x)=x^2-5x+6$ en forme factorisée, puis en forme canonique. Conclure sur les variations.

D — Signe et variations

  1. Étudier le signe de $f(x)=(x-2)(x-5)$ puis tracer un tableau de signes.
  2. Étudier les variations de $g(x)=-2x^2+8x-3$ sans utiliser les dérivées.
  3. Pour $h(x)=x^2+2x+2$, montrer que $h(x)>0$ pour tout $x$ et donner le minimum.

E — Tracé de paraboles (méthode complète)

  1. Tracer à main levée (avec repérage de $\alpha,\beta$, racines/ordonnée à l’origine) :
    • $f(x)=x^2-4x+3$
    • $g(x)=x^2-6x+9$
    • $h(x)=2x^2+2x+5$
  2. Pour $p(x)=-x^2+4x-6$, placer le sommet et indiquer s’il existe des racines réelles.

F — Problèmes concrets

  1. Optimisation géométrique : on veut clôturer un rectangle de périmètre $20$ m. Exprimer l’aire $A(x)$ en fonction de la largeur $x$, réduire à une forme $ax^2+bx+c$, donner $x$ max et $A_{\max}$.
  2. Trajectoire parabolique (physique) : la hauteur (en m) d’un projectile est donnée par $$ y(t)=-4.9t^2+v_0 t + h_0. $$ (a) Pour $v_0=20$ m/s et $h_0=1.5$ m, déterminer l’instant $t$ du sommet et la hauteur maximale. (b) À quel(s) instant(s) le projectile retombe-t-il au niveau du sol ($y=0$) ? Interpréter le discriminant.
  3. Coût de fabrication : $C(x)=0{,}5x^2-8x+60$ (en euros). (a) Montrer que le coût minimal existe et le déterminer. (b) À partir de combien d’unités le coût unitaire baisse-t-il quand on augmente $x$ ?

G — Exercices “vrai/faux” argumentés

  1. Si $a>0$ et $\Delta<0$ alors $f(x)\ge 0$ pour tout $x$.
  2. Si $\Delta=0$ alors $f$ change de signe.
  3. Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a<0$, alors $\beta$ est la valeur minimale de $f$.