Chapitre 1 — Fonctions et équations du second degré

Objectif : maîtriser la forme canonique, la variation, la représentation graphique, le discriminant et la résolution d’une équation du second degré, ainsi que la factorisation et l’étude de signe.

I. Fonctions du second degré

Définition.
Dire qu’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est un polynôme du second degré signifie qu’il existe des réels $a$ (avec $a\neq 0$), $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$, $$ f(x)=ax^2+bx+c. $$ Cette écriture est la forme développée (ou réduite) de $f$.

Exemples.

$f(x)=x^2$
$g(x)=x^2+2x+3$

1. Forme canonique

Propriété 1 (forme canonique).
Tout polynôme du second degré $ f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ peut s’écrire $$ f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \quad \text{où}\quad \alpha=-\dfrac{b}{2a}\ \ \text{et}\ \ \beta=f(\alpha). $$ Les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du sommet de la parabole.

Démonstration (complétion du carré). $$ ax^2+bx+c=a\!\left[x^2+\frac{b}{a}x\right]+c =a\!\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c =a(x-\alpha)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4a}\Big). $$ Or $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=c-\dfrac{b^2}{4a}$.

Exemple.
Écrire la forme canonique de $x^2+2x+3$. $$ x^2+2x+3=(x+1)^2+2. $$ Ici $\alpha=-1$ et $\beta=2$.

2. Sens de variation (à partir de la forme canonique)

Propriété 2.
Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq 0$, alors

si $a>0$, $f$ décroît sur $(-\infty,\alpha]$ puis croît sur $[\alpha,+\infty)$ ;
si $a<0$, $f$ croît sur $(-\infty,\alpha]$ puis décroît sur $[\alpha,+\infty)$.

Tableaux de variation :

Cas $a>0$

$x$	$ -\infty $	$ \alpha $	$ +\infty $
$f(x)$		$\beta$

Cas $a<0$

$x$	$ -\infty $	$ \alpha $	$ +\infty $
$f(x)$		$\beta$

3. Représentation graphique

Propriété 3.
Dans un repère orthonormé, la courbe de $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha,\beta)$ et d’axe de symétrie la droite verticale $x=\alpha$.

II. Équations du second degré

1. Discriminant

Définition.
Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) est le réel noté $\Delta$ défini par $$ \Delta = b^2 - 4ac. $$

Exemple.
Pour $x^2+4x-5$ on a $a=1$, $b=4$, $c=-5$, donc $$ \Delta = 4^2 - 4\times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36. $$

2. Résolution d’une équation du second degré

Définition.
Une équation du second degré est une équation de la forme $$ ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq 0. $$

Théorème (méthode).
Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on calcule $\Delta=b^2-4ac$ puis :

si $\Delta>0$, il y a deux solutions réelles $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}; $$
si $\Delta=0$, il y a une unique solution réelle (double) $$ x_0=\frac{-b}{2a}; $$
si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle.

Exemple.
Résoudre $x^2+4x-5=0$. On a $\Delta=36$, donc $$ x_1=\frac{-4-\sqrt{36}}{2}=\frac{-4-6}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-4+\sqrt{36}}{2}=\frac{-4+6}{2}=1. $$

3. Somme et produit des racines (cas $\Delta\ge 0$)

Propriété 5.

Si $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$ (cas $\Delta>0$), alors $$ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. $$ (Pour $\Delta=0$, la « double » racine $x_0$ vérifie $2x_0=-\tfrac{b}{a}$ et $x_0^2=\tfrac{c}{a}$.)

III. Factorisation et signe d’un trinôme

1. Factorisation selon $\Delta$

Théorème (principe).

Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ de discriminant $\Delta$.

Si $\Delta>0$ alors le trinôme admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. De plus le trinôme est factorisable et on a pour tout x : $$ P(x)=a(x-x_1)(x-x_2). $$
Si $\Delta=0$ alors le trinôme admet une seule racine, on l'appelle la racine double $x_0$). De plus, le trinôme est factorisable et pour tout x, on a: $$ P(x)=a(x-x_0)^2. $$
Si $\Delta<0$ alors le trinôme $P$ n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable (sur $\mathbb{R}$).

Exemple.
Factoriser $x^2+4x-5$.
On a $x_1=-5$ et $x_2=1$, donc $$ x^2+4x-5=(x+5)(x-1). $$

2. Signe de $ax^2+bx+c$

... la suite se trouve sur la page 5 de la photocopie ...